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2018湘教版数学九年级下册2.3《垂径定理》课件

  • 课件名称:2018湘教版数学九年级下册2.3《垂径定理》课件
  • 创 作 者:未知
  • 课件添加:admin
  • 更新时间:2018-4-13 7:33:53
  • 课件大小:262 K
  • 课件等级★★★
  • 授权方式:免费版
  • 运行平台:Win9x/NT/2000/XP/2003
  • ◆课件简介:
    2018湘教版数学九年级下册2.3《垂径定理》课件
    2.3 垂径定理 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗? 赵州桥主桥拱的半径是多少? 首页 情景引入 由此你能得到圆的什么特性? 可以发现:圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴.  问题1:不借助任何工具,你能找到圆形纸片的圆心吗? 首页 探究点一 垂径定理 合作探究 问题2:如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和弧? 为什么? · O A B C D E 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 首页 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 提示: 垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. CD⊥AB ∵ CD是直径, ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. · O A B C D E 首页 下列图形是否具备垂径定理的条件? 是 不是 是 不是 O E D C A B 首页 垂径定理的几个基本图形: CD过圆心 CD⊥AB于E AE=BE AC= BC AD= BD 首页 例1:如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB于E,则下列结论中不成立的是 ( ) A.∠COE=∠DOE B.CE=DE C.OE=AE D.BD=BC ⌒ ⌒ · O A B E C D C 首页 例题学习 例2:如图,OE⊥AB于E,若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm。 · O A B E 解:连接OA,∵ OE⊥AB ∴ ∴ AB=2AE=16cm 首页 问题:你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗? 探究点二 垂径定理的实际应用 首页 37.4m 7.2m A B O C D 首页 A B O C D 解:如图,用AB表示主桥拱,设AB所在的圆的圆心为O,半径为r. 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D,与AB交于点C,则D是AB的中点,C是AB的中点,CD就是拱高. ∴ AB=37.4m,CD=7.2m ∴ AD=1/2 AB=18.7m,OD=OC-CD=r-7.2 ∵ ∴ 解得r=27.9(m) 即主桥拱半径约为27.9m. ⌒ ⌒ 首页 关于弦的问题,常常需要过圆心作弦的垂线段,这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形,便将问题转化为直角三角形的问题。 知识要点 首页 例4:如图,一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 解:连接OC. ● O C D E F ┗ 首页 例题学习 ∴ CD⊥AB, ∵ CD是直径, AE=BE ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. · O A B C D E 探究点三 垂径定理的推论 命题:“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。”是真命题吗?若是,请证明;若不是请举出反例. 首页 (1)如何证明? · O A B C D E 已知:如图,CD是⊙O的直径,AB为弦,且AE=BE. 证明:连接OA,OB,则OA=OB ∵ AE=BE ∴ CD⊥AB ∴ AD=BD, ⌒ ⌒ 求证:CD⊥AB,且AD=BD, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC ⌒ ⌒ AC =BC 首页 (2)“不是直径”这个条件能去掉吗?如果不能,请举出反例。 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 · O A B C D 首页 ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 如果具备上面五个条件中的任何两个,那么一定可以得到其他三个结论吗? 一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦(不是直径); (4)平分弦所对优弧;(5)平分弦所对的劣弧. ●O A B C D └ M 首页 根据已知条件进行推导: ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所 对的两条弧。 ① ⑤ ③④② ① ④ ③②⑤ ①③ ②④⑤ ① ④ ⑤ ② ③ (3)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。 (2)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分 弦所对的另一条弧。 ①② ③④⑤ 只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个. 知识要点 首页 例3: 如图,点A、B是⊙O上两点,AB=10,点P是⊙O上的动点P与A、B不重合),连结AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E, OF⊥PB于F,求EF的长. 解:在⊙O中,∵OE⊥AP, OF⊥PB, ∴AE=PE, BF=PF, ∴EF是△ABP的中位线, ∴EF= AB= ×10=5cm. 首页 例题学习 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理: 在解决有关圆的问题时,可以利用垂径定理将其转化为解直角三角形的问题 。 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备 (1)过圆心 (2)垂直于弦 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论 首页 课堂小结
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